Question

【題目】已知x∈R，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù) 有且僅有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由 得 =2a， ①若x＞0，設(shè)g（x）= ，
則當(dāng)0＜x＜1，[x]=0，此時g（x）=0，
當(dāng)1≤x＜2，[x]=1，此時g（x）= ，此時 ＜g（x）≤1，
當(dāng)2≤x＜3，[x]=2，此時g（x）= ，此時 ＜g（x）≤1，
當(dāng)3≤x＜4，[x]=3，此時g（x）= ，此時 ＜g（x）≤1，
當(dāng)4≤x＜5，[x]=4，此時g（x）= ，此時 ＜g（x）≤1，
作出函數(shù)g（x）的圖象，
要使 有且僅有三個零點，
即函數(shù)g（x）=2a有且僅有三個零點，
則由圖象可知 ＜a≤ ，
②若x＜0，設(shè)g（x）= ，
則當(dāng)﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，此時g（x）=﹣ ，此時g（x）≥1，
當(dāng)﹣2≤x＜﹣1，[x]=﹣2，此時g（x）=﹣ ，此時1≤g（x）＜2，
當(dāng)﹣3≤x＜﹣2，[x]=﹣3，此時g（x）=﹣ ，此時1≤g（x）＜ ，
當(dāng)﹣4≤x＜﹣3，[x]=﹣4，此時g（x）=﹣ ，此時1≤g（x）＜ ，
當(dāng)﹣5≤x＜﹣4，[x]=﹣5，此時g（x）=﹣ ，此時1≤g（x）＜ ，
作出函數(shù)g（x）的圖象，
要使 有且僅有三個零點，
即函數(shù)g（x）=2a有且僅有三個零點，
則由圖象可知 ≤a＜ ，
綜上： ＜a≤ 或 ≤a＜ ，
所以答案是： ．

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系的相關(guān)知識，掌握二次函數(shù)的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點．