Question

（Ⅰ）已知函數(shù).數(shù)列滿足：，且,記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；并判斷是否仍為數(shù)列中的項(xiàng)？若是，請(qǐng)證明；否則，說明理由.

（Ⅱ）設(shè)為首項(xiàng)是,公差的等差數(shù)列，求證：“數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)”的充要條件是“存在整數(shù)，使”.

Answer 1

同下

解析:

（Ⅰ）因?yàn)?img width=171 height=53 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/124/363924.gif">，

所以，即，

，即.     ……………………………………（4分）

因?yàn)?img width=296 height=51 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/129/363929.gif">，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以.                    …………………………（6分）

又因?yàn)?img width=244 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/135/363935.gif">，

所以令，則

得到與矛盾，所以不在數(shù)列中.    ………（8分）

（Ⅱ）充分性：若存在整數(shù)，使.

設(shè)為數(shù)列中不同的兩項(xiàng)，則

.

又且,所以.

即是數(shù)列的第項(xiàng).                ……………………（11分）

必要性：若數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)，

則，，（，為互不相同的正整數(shù)）

則，令，

得到 ，

所以，令整數(shù)，所以.　     ……（14 分）

下證整數(shù)

若設(shè)整數(shù)則.令，

由題設(shè)取使 

即，所以

即與相矛盾，所以.

綜上, 數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)的充要條件是存在整數(shù)，使.                                              ……………………（16分）