Question

已知斜四棱體ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱長都是2，∠BAD=∠A₁AD=60°，E、O分別是棱CC₁和棱AD的中點，平面ADD₁A₁⊥平面ABCD．
（1）求證：OC∥平面AED₁；
（2）求二面角E-AD₁-D的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)A₁D，交AD₁于F，連結(jié)OF，EF，由已知得OF∥AA₁∥CC₁，從而OF

∥

.

CE，進而四邊形OCEF為平行四邊形，由此能證明OC∥平面AED₁．
（2）以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OA₁為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面AED₁的法向量和平面ADD₁的法向量，利用向量法能求出二面角E-AD₁-D的余弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)A₁D，交AD₁于F，連結(jié)OF，EF，
則F為A₁D的中點，也為AD₁的中點，
∵E、O分別為棱CC₁和棱AD的中點，
∴OF∥AA₁∥CC₁，且OF=

1

2

AA₁，
又∵CE=

1

2

CC₁，∴OF

∥

.

CE，
∴四邊形OCEF為平行四邊形，∴OC∥EF，
∵EF?平面AED₁，OC?平面AED₁，
∴OC∥平面AED₁．
（2）解：∵斜四棱體ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱長都是2，
∠BAD=∠A₁AD=60°，E、O分別是棱CC₁和棱AD的中點，
平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，
∴以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OA₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
E（-2，

3

，

3

2

），A（1，0，0），D₁（-1，0，

3

），

AE

=（-3，

3

，

3

2

），

AD1

=（-2，0，

3

），
設(shè)平面AED₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AE =-3x+ 3 y+ 3 2 z=0 n • AD1 =-2x+ 3 z=0

，取z=2

3

，得

n

=（3，2

3

，2

3

），
又平面ADD₁的法向量

m

=（0，1，0），
設(shè)二面角E-AD₁-D的平面角為θ，
cosθ=

| n • m |

| n |•| m |

=

2 3

9+12+12

=

2 11

11

．
∴二面角E-AD₁-D的余弦值為

2 11

11

．

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，線線角、線面角、二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．