Question

（2012•廈門模擬）定義在R上的函數f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，如果存在非零常數λ（λ∈R，使得對任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），則稱y=f（x）為“倍增函數”，λ為“倍增系數”，下列命題為真命題的是

①③④

（寫出所有真命題對應的序號）．
①若函數y=f（x）是倍增系數λ=-2的倍增函數，則y=f（x）至少有1個零點；
②函數f（x）=2x+1是倍增函數，且倍增系數λ=1；
③函數f(x)=

e

-x

是倍增函數，且倍增系數λ∈（0，1）；
④若函數f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函數，則ω=

kπ

2

(k∈N*)．

Answer 1

分析：由函數y=f（x）是倍增系數λ=-2的倍增函數，知f（x-2）=-2f（x），由此得到y=f（x）至少有1個零點；由f（x）=2x+1是倍增函數，知2（x+λ）+1=λ（2x+1），故λ=

2x+1

2x-1

≠1；由f(x)=

e

-x

是倍增函數，得λ=

1

eλ

∈（0，1）；由f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函數，得ω=

kπ

2

(k∈N*)．

解答：解：∵函數y=f（x）是倍增系數λ=-2的倍增函數，
∴f（x-2）=-2f（x），
當x=0時，f（-2）+2f（0）=0，
若f（0），f（-2）任一個為0，函數f（x）有零點．
若f（0），f（-2）均不為零，則f（0），f（-2）異號，
由零點存在定理，在（-2，0）區(qū)間存在x₀，f（x₀）=0，
即y=f（x）至少有1個零點，故①正確；
∵f（x）=2x+1是倍增函數，
∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），
∴λ=

2x+1

2x-1

≠1，故②不正確；
∵f(x)=

e

-x

是倍增函數，
∴e^-（x+λ）=λe^-x，
∴

1

ex•eλ

=

λ

ex

，
∴λ=

1

eλ

∈（0，1），故③正確；
∵f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函數，
∴sin[2ω（x+λ）]=λsin（2ωx），
∴ω=

kπ

2

(k∈N*)．故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查命題的真假判斷，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．