【題目】已知函數(shù).

（1）證明：當(dāng)時，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)；

（2）當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】 (1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：

（1）由題意得，再令，利用導(dǎo)數(shù)可得在取得最小值，且，于是，從而得到在上是單調(diào)遞增函數(shù)．（2）由題意分離參數(shù)可得當(dāng)時，恒成立．令，利用導(dǎo)數(shù)可得到當(dāng)時，取得最小值，且，從而可得，即為所求的范圍．

試題解析：

（1）∵，

∴，

令，

則，

則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增．

∴函數(shù)在取得最小值，且最小值為，

∴在上恒成立，

∴在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

（2）由題意得當(dāng)時，恒成立，

∴當(dāng)時，恒成立．

令，

則，

令，

則.

∴時，單調(diào)遞增，

∴，即．

∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時，取得最小值，且，

∴．

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在上單調(diào)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，則的前100項(xiàng)的和為（ ）

A. 300B. 100C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠采用甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式生產(chǎn)某零件，現(xiàn)對兩種生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的這種零件的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行對比，其質(zhì)量按測試指標(biāo)可劃分為：指標(biāo)在區(qū)間100的為一等品；指標(biāo)在區(qū)間的為二等品現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的零件中，各自隨機(jī)抽取100件作為樣本進(jìn)行檢測，測試指標(biāo)結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示：

若在甲種生產(chǎn)方式生產(chǎn)的這100件零件中按等級，利用分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件零件中隨機(jī)抽取3件，求至少有1件一等品的概率；

將頻率分布直方圖中的頻率視作概率，用樣本估計總體若從該廠采用乙種生產(chǎn)方式所生產(chǎn)的所有這種零件中隨機(jī)抽取3件，記3件零件中所含一等品的件數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某蔬菜加工廠加工一種蔬菜，并對該蔬菜產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量評級，現(xiàn)對甲、乙兩臺機(jī)器所加工的蔬菜產(chǎn)品隨機(jī)抽取一部分進(jìn)行評級，結(jié)果（單位：件）如表1：

（1）若規(guī)定等級為合格等級，等級為優(yōu)良等級，能否有的把握認(rèn)為“蔬菜產(chǎn)品加工質(zhì)量與機(jī)器有關(guān)”？

（2）表2是用清水千克清洗該蔬菜千克后，該蔬菜上殘留的農(nóng)藥微克的統(tǒng)計表，若用解析式作為與的回歸方程，求出與的回歸方程.（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，.）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正三棱柱，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，已知函數(shù)，.

（Ⅰ）設(shè)，求在上的最大值.

（Ⅱ）設(shè)，若的極大值恒小于0，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為考察某種疫苗預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗(yàn)，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：現(xiàn)從所有試驗(yàn)動物中任取一只，取到“注射疫苗”動物的概率為.

未發(fā)病

發(fā)病

總計

未注射疫苗

20

x

A

注射疫苗

40

y

B

總計

60

40

100

（1）求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，A，B的值．

（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為疫苗有效？

附：

臨界值表：

P(K2≥k0)

0.05

0.01

0.005

0.001

k0

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)為了豐富學(xué)生的課外文體活動，分別開設(shè)了閱讀、書法、繪畫等文化活動；跑步、游泳、健身操等體育活動．該中學(xué)共有高一學(xué)生300名，要求每位學(xué)生必須選擇參加其中一項(xiàng)活動，現(xiàn)對高一學(xué)生的性別、學(xué)習(xí)積極性及選擇參加的文體活動情況進(jìn)行統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)如下：

(1)在選擇參加體育活動的學(xué)生中按性別分層抽取6名，再從這6名學(xué)生中抽取2人了解家庭情況，求2人中至少有1名女生的概率；

(2)是否有99．9％的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與選擇參加文化活動有關(guān)?請說明你的理由．

附：參考公式：，其中．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年1月10日，引發(fā)新冠肺炎疫情的病毒基因序列公布后，科學(xué)家們便開始了病毒疫苗的研究過程.但是類似這種病毒疫苗的研制需要科學(xué)的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做動物試驗(yàn).已知一個科研團(tuán)隊用小白鼠做接種試驗(yàn)，檢測接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗(yàn)設(shè)計是：每天接種一次，3天為一個接種周期.已知小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)抗體的概率為，假設(shè)每次接種后當(dāng)天是否出現(xiàn)抗體與上次接種無關(guān).

（1）求一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體次數(shù)的分布列；

（2）已知每天接種一次花費(fèi)100元，現(xiàn)有以下兩種試驗(yàn)方案：

①若在一個接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)抗體即終止本周期試驗(yàn)，進(jìn)行下一接種周期，試驗(yàn)持續(xù)三個接種周期，設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為元；

②若在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體，該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，已知試驗(yàn)至多持續(xù)三個接種周期，設(shè)此種試驗(yàn)方式的花費(fèi)為元.本著節(jié)約成本的原則，選擇哪種實(shí)驗(yàn)方案.

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