【題目】過拋物線的焦點(diǎn)F任作兩條互相垂直的直線,,分別與拋物線E交于A,B兩點(diǎn)和C,D兩點(diǎn),則的最小值為________.
【答案】9
【解析】
解法一:設(shè)出直線的方程,分別與拋物線方程聯(lián)立,求得、,由此求得的表達(dá)式,進(jìn)而利用基本不等式,求得的最小值.
解法二:設(shè)直線AB的傾斜角為,結(jié)合拋物線的定義,利用表示出,然后利用基本不等式,求得的最小值.
解法一:由題意知,拋物線的焦點(diǎn)為.
由直線,與拋物線E分別交于兩點(diǎn)且,直線,的斜率均存在且不為0,
故可設(shè)直線的方程為,
則直線的方程,
聯(lián)立直線和拋物線E的方程,
得,
消去y得,
所以,
令代替此式中的,得,
因?yàn)?/span>,,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,
所以的最小值為9.
解法二 設(shè)直線AB的傾斜角為,點(diǎn)A在x軸上方,作垂直拋物線E的準(zhǔn)線于,垂直x軸于,拋物線的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)G,
易知,
所以,
所以,
同理,
所以.
又DC與AB垂直,
所以直線DC的傾斜角為,
所以.
因?yàn)?/span>,
所以,
所以
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,
所以的最小值為9.
故答案為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國新型冠狀病毒肺炎疫情期間,以網(wǎng)絡(luò)購物和網(wǎng)上服務(wù)所代表的新興消費(fèi)展現(xiàn)出了強(qiáng)大的生命力,新興消費(fèi)將成為我國消費(fèi)增長的新動能.某市為了了解本地居民在2020年2月至3月兩個(gè)月網(wǎng)絡(luò)購物消費(fèi)情況,在網(wǎng)上隨機(jī)對1000人做了問卷調(diào)查,得如下頻數(shù)分布表:
網(wǎng)購消費(fèi)情況(元) | |||||
頻數(shù) | 300 | 400 | 180 | 60 | 60 |
(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,并估計(jì)本市居民此期間網(wǎng)絡(luò)購物的消費(fèi)平均值;
(2)在調(diào)查問卷中有一項(xiàng)是填寫本人年齡,為研究網(wǎng)購金額和網(wǎng)購人年齡的關(guān)系,以網(wǎng)購金額是否超過4000元為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣,從上述1000人中抽取200人,得到如下列聯(lián)表,請將表補(bǔ)充完整并根據(jù)列聯(lián)表判斷,在此期間是否有95%的把握認(rèn)為網(wǎng)購金額與網(wǎng)購人年齡有關(guān).
網(wǎng)購不超過4000元 | 網(wǎng)購超過4000元 | 總計(jì) | |
40歲以上 | 75 | 100 | |
40歲以下(含40歲) | |||
總計(jì) | 200 |
參考公式和數(shù)據(jù):.(其中為樣本容量)
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,極點(diǎn)為,一條封閉的曲線由四段曲線組成:,,,.
(1)求該封閉曲線所圍成的圖形面積;
(2)若直線:與曲線恰有3個(gè)公共點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),在直線上存在點(diǎn),使三角形為正三角形,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)為,左頂點(diǎn)為,雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)為線段上的動點(diǎn),當(dāng)取得最小值和最大值時(shí),的面積分別為,,若,則雙曲線的離心率為( ).
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天津市某中學(xué)為全面貫徹“五育并舉,立德樹人”的教育方針,促進(jìn)學(xué)生各科平衡發(fā)展,提升學(xué)生綜合素養(yǎng).該校教務(wù)處要求各班針對薄弱學(xué)科生成立特色學(xué)科“興趣學(xué)習(xí)小組”(每位學(xué)生只能參加一個(gè)小組),以便課間學(xué)生進(jìn)行相互幫扶.已知該校某班語文數(shù)學(xué)英語三個(gè)興趣小組學(xué)生人數(shù)分別為10人10人15人.經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí),上學(xué)期期中考試中,他們的成績有了明顯進(jìn)步.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該班的語文,數(shù)學(xué),英語三個(gè)興趣小組中抽取7人,對期中考試這三科成績及格情況進(jìn)行調(diào)查.
(1)應(yīng)從語文,數(shù)學(xué),英語三個(gè)興趣小組中分別抽取多少人?
(2)若抽取的7人中恰好有5人三科成績?nèi)考案,其?/span>2人三科成績不全及格.現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取4人做進(jìn)一步的調(diào)查.
①記表示隨機(jī)抽取4人中,語文,數(shù)學(xué),英語三科成績?nèi)案竦娜藬?shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
②設(shè)為事件“抽取的4人中,有人成績不全及格”,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖是2020年2月15日至3月2日武漢市新增新冠肺炎確診病例的折線統(tǒng)計(jì)圖.則下列說法不正確的是( )
A.2020年2月19日武漢市新增新冠肺炎確診病例大幅下降至三位數(shù)
B.武漢市在新冠肺炎疫情防控中取得了階段性的成果,但防控要求不能降低
C.2020年2月19日至3月2日武漢市新增新冠肺炎確診病例低于400人的有8天
D.2020年2月15日到3月2日武漢市新增新冠肺炎確診病例最多的一天比最少的一天多1549人
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一副斜邊長為10的直角三角板,將它們斜邊重合,若將其中一個(gè)三角板沿斜邊折起形成三棱錐,如圖所示,已知,,則三棱錐的外接球的表面積為______;該三棱錐體積的最大值為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和,且,,,其中為常數(shù).
(1)若,.
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)若,.求證:.
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