Question

函數(shù)f（x）=a

x

+

b

x

的圖象過點（1，3）和（4，3），
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）用定義證明函數(shù)y=f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）點（1，3）和（4，3），代入解析式判斷求解．
（2）運用單調(diào)性定義證明判斷，作差分解因式，判斷符號．

解答： 解：（1）

f(1)=3 f(4)=3

，即

a+b=3 2a+ b 2 =3

解得：

a=1 b=2

（2）任取2≤x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（

x1

-

x2

）

( x1 x2 -2)

x1 x2

=（

x1-x2

x1 + x2

）

( x1 x2 -2)

x1 x2

∵任取2≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，又

2

＜

x1

＜

x2

，

x1

x2

-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
故：函數(shù)y=f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．

點評：本題考查了函數(shù)的基本概念，性質(zhì)的定義，證明，屬于基本題目，難度不大．