精英家教網(wǎng)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,.∠ABC=60°,平面ACFE⊥平面ABCD,四邊形ACFE是矩形,AE=a,點M在線段EF上.
(1)求證:BC⊥平面ACFE;
(2)當(dāng)EM為何值時,AM∥平面BDF?證明你的結(jié)論;
(3)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值.
分析:(1)由已知中梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,我們易求出AC⊥BC,結(jié)合已知中平面ACFE⊥平面ABCD,及平面與平面垂直的性質(zhì)定理,即可得到BC⊥平面ACFE.
(2)以點ABC-A1B1C1為原點,△ABC所在直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系,看出AM∥平面BDF等價于
AM
FB
、
FD
共面,也等價于存在實數(shù)m、n,使
AM
=m
FB
+n
FD
,根據(jù)向量之間的關(guān)系得到結(jié)論.
(3)要求兩個平面所成的角,根據(jù)向量的加減運算做出平面的法向量,二面角B-EF-D的大小就是向量
GD
與向量
FB
所夾的角.根據(jù)向量的夾角做出結(jié)果.
解答:證明:(1)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,
∴四邊形ABCD是等腰梯形,
且∠DCA=∠DAC=30°,∠DCB=120°
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°
∴AC⊥BC
又∵平面ACFE⊥平面ABCD,交線為AC,
∴BC⊥平面ACFE
解:(2)當(dāng)EM=
3
3
a
時,AM∥平面BDF,
以點ABC-A1B1C1為原點,△ABC所在直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(
3
a,0,0)
E(
3
a,0,a)

AM∥平面BDF?
AM
FB
、
FD
共面,也等價于存在實數(shù)m、n,使
AM
=m
FB
+n
FD

設(shè)
EM
=t
EF

EF
=(-
3
a,0,0),
EM
=(-
3
at
,0,0)
AM
=
AE
+
EM
=(-
3
at,0,0)
FD
=(
3
2
a,-
1
2
a,-a),
FB
=(0,a,-a),
從而要使得:(-
3
at,0,a)=m(0,a,-a)+n(
3
2
a,-
1
2
a,-a)
成立,
-
3
at=
3
2
an
0=ma-
1
2
an
a=-am-an
,解得t=
1
3
∴當(dāng)EM=
3
3
a
時,AM∥平面BDF
(3B(0,a,0),A(
3
a,0,0)
,
過D作DG⊥EF,垂足為G.令
FG
=λ
FE
=λ(
3
a,0,0),
CG
=
CF
+
FG
=(
3
aλ,0,a),
DG
=
CG
-
CD
=(
3
λa-
3
2
a,
1
2
a,a)
DG
EF
得,
DG
EF
=0
,
λ=
1
2

DG
=(0,
1
2
a,a)
,即
GD
=(0,-
1
2
a,-a)

∵BC⊥AC,AC∥EF,
∴BC⊥EF,BF⊥EF
∴二面角B-EF-D的大小就是向量
GD
與向量
FB
所夾的角.
FB
=(0,a,-a)
cos<
GD
FB
>=
10
10
,即二面角B-EF-D的平面角的余弦值為
10
10

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點評:本題考查用空間向量求平面間的夾角和線面之間的關(guān)系問題,本題解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫出要用的空間向量,把立體幾何的理論推導(dǎo)變成數(shù)字的運算,這是新課標(biāo)高考卷中常見的一種題目.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四邊形ACFE為矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(Ⅰ)求證:BC⊥平面ACFE;
(Ⅱ)點M在線段EF上運動,設(shè)平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為θ(θ≤90°),試求cosθ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD與AC相交于O,過O的直線分別交AB、CD于E、F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,則EF=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在梯形ABCD中,對角線AC和BD交于點O,E、F分別是AC和BD的中點,分別寫出
(1)圖中與
EF
、
CO
共線的向量;
(2)與
EA
相等的向量.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在梯形△ABCD中,AB∥CD,AD=DC-=CB=1,么ABC-60.,四邊形ACFE為矩形,平面ACFE上平面ABCD,CF=1.
(I)求證:BC⊥平面ACFE;
(II)若M為線段EF的中點,設(shè)平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為θ(θ≤90°),求cosθ.

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同步練習(xí)冊答案