Question

6．用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四周分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90°角，再焊接成水箱，則水箱的最大容積為（　�。�

• A． 120 000 cm³
• B． 128 000 cm³
• C． 150 000 cm³
• D． 158 000 cm³

Answer 1

分析 設水箱底長為xcm，則高為$\frac{120-x}{2}$cm，求出容器的容積，利用導數(shù)求最值，即可得出結論．

解答 解：設水箱底長為xcm，則高為$\frac{120-x}{2}$cm．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{120-x}{2}＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，得0＜x＜120．
設容器的容積為ycm³，則有y=-$\frac{1}{2}{x}^{3}+60{x}^{2}$． 
求導數(shù)，有${y}^{′}=-\frac{3}{2}{x}^{2}+120x$．   
令y′=0，解得x=80（x=0舍去）．
當x∈（0，80）時，y'＞0；當x∈（80，120）時，y'＜0，
因此，x=80是函數(shù)y=-$\frac{1}{2}{x}^{3}+60{x}^{2}$的極大值點，也是最大值點，此時y=128000cm³．
故選：B．

點評 本題考查了立方體容積計算方法，解答關鍵是求出水箱的底邊長和高，注意挖掘題目中的隱含條件，同時考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，是中檔題．