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已知橢圓方程為x2+
y2
8
=1,射線y=2
2
x(x≥0)與橢圓的交點為M,過M作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于A、B兩點(異于M).
(1)求證直線AB的斜率為定值;
(2)求△AMB面積的最大值.
(1)∵斜率k存在,不妨設k>0,求出M(
2
2
,2),
直線MA方程為y-2=k(x-
2
2
),直線MB方程為y-2=-k(x-
2
2
).
分別與橢圓方程聯(lián)立,可解出xA=
2
k2-4k
k2+8
-
2
2
,xB=
2
k2+4k
k2+8
-
2
2

則yA=2-k(x-
2
2
),yB=2+k(x-
2
2
),
kAB=
yA-yB
xA-xB
=2
2

∴kAB=2
2
(定值).
(2)設直線AB方程為y=2
2
x+m,與x2+
y2
8
=1聯(lián)立,消去y得16x2+4
2
mx+(m2-8)=0
由△>0得-4<m<4,且m≠0,點M到AB的距離d=
|m|
3

設△AMB的面積為S.∴S2=
1
4
|AB|2d2=
1
32
m2(16-m2)≤
1
32
(
16
2
)
2
=2.
當m=±2
2
時,得Smax=
2
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓方程為x2+
y2
8
=1,射線y=2
2
x(x≥0)與橢圓的交點為M,過M作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于A、B兩點(異于M).
(1)求證直線AB的斜率為定值;
(2)求△AMB面積的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓方程為
x
2
 
4
+
y
2
 
3
=1
,雙曲線
x
2
 
a
2
 
-
y
2
 
b
2
 
=1(a>0,b>0)
的焦點是橢圓的頂點,頂點是橢圓的焦點,則雙曲線的離心率為( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓方程為x2+2y2=1,則該橢圓的長軸長為
2
2

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科目:高中數學 來源:2010年北京大學附中高三數學提高練習試卷(3)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓方程為x2+=1,射線y=2x(x≥0)與橢圓的交點為M,過M作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于A、B兩點(異于M).
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科目:高中數學 來源:2010年新教材高考數學模擬題詳解精編試卷(5)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓方程為x2+=1,射線y=2x(x≥0)與橢圓的交點為M,過M作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于A、B兩點(異于M).
(1)求證直線AB的斜率為定值;
(2)求△AMB面積的最大值.

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