Question

如圖，設(shè)拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，焦點(diǎn)為F₂；以F₁、F₂為焦點(diǎn)，離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得△PF₁F₂的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（1）的條件下，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C₂的右焦點(diǎn)F₂，與拋物線C₁交于A₁、A₂，如果以線段A₁A₂為直徑作圓，試判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）m=1時(shí)，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)以及a，b 的值，寫(xiě)出橢圓方程．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，在△PF₁F₂中，|PF₁|最長(zhǎng)，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，則|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1，把P（m-1，4m（m-1））代入橢圓方程求出m值．
（3）依題意設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，k∈R，聯(lián)立{y2=4xx24+y23=1得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（23，263）．再由韋達(dá)定理可知點(diǎn)P可在圓內(nèi)，圓上或圓外．

解答：解：（1）m=1時(shí)，拋物線C₁：y²=4x，焦點(diǎn)為F₂ （1，0）． 由于橢圓離心率e=

1

2

，c=1，
故 a=2，b=

3

，故所求的橢圓方程為  

x2

4

+

y2

3

=1．右準(zhǔn)線方程為：x=4．
（2）∵C₁：y²=4mx（m＞0）的右焦點(diǎn)F₂（m，0）
∴橢圓的半焦距c=m，又e=

1

2

，
∴橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)a=2m，短半軸的長(zhǎng)b=

3

m．
∴橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，△PF₁F₂中的邊長(zhǎng)是連續(xù)自然數(shù)，則在△PF₁F₂中，|PF₁|最長(zhǎng)，|PF₂|最短，
令|F₁F₂|=2c=2m，則|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1．
由拋物線的定義可得|PF₂|=2m-1=x_P-（-m），∴x_P=m-1．
把P（m-1，4m（m-1））代入橢圓

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，解得m=3．
故存在實(shí)數(shù)m=3 滿足條件．
（3）依題意設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，k∈R
聯(lián)立

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(

2

3

，

2 6

3

)．
將x=ky+1代入y²=4x得y²-4ky-4=0．
設(shè)A₁（x₁，y₁）、A₂（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4．
又

PA1

=(x1-

2

3

，y1-

2 6

3

)，

PA2

=(x2-

2

3

，y2-

2 6

3

)．

PA1

 •

PA2

=x1x2-

2

3

(x1+x2) +

4

9

+y1y2-

2 6

3

(y1+y2)  +

24

9

=-

24k2+24 6 k+11

9

=-

24(k+ 6 2 )2-25

9

．
∵k∈R，于是

PA1

•

PA2

的值可能小于零，等于零，大于零．
即點(diǎn)P可在圓內(nèi)，圓上或圓外．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查向量知識(shí)的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．