Question

【題目】設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時，證明；

（Ⅲ）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點，其中，證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見證明

【解析】

(Ⅰ)由題意求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)果和導(dǎo)函數(shù)的符號求解函數(shù)的最小值即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅲ)令，結(jié)合(Ⅰ)，(Ⅱ)的結(jié)論、函數(shù)的單調(diào)性和零點的性質(zhì)放縮不等式即可證得題中的結(jié)果.

(Ⅰ)由已知，有.

當(dāng)時，有，得，則單調(diào)遞減;

當(dāng)時，有，得，則單調(diào)遞增.

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，

的單調(diào)遞減區(qū)間為.

(Ⅱ)記.依題意及(Ⅰ)有：，

從而.當(dāng)時，，故

.

因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進而.

所以，當(dāng)時，.

(Ⅲ)依題意，，即.

記，則.

且.

由及(Ⅰ)得.

由(Ⅱ)知，當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，

因此.

又由(Ⅱ)知，故：

.

所以.