已知橢圓的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線(xiàn)相交于點(diǎn).問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

（1）；（2）存在，

解析試題分析：（1）由已知，得，再根據(jù)離心率求，進(jìn)而求，進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)位置求橢圓方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，得關(guān)于的一元二次方程，由題意，列方程得，同時(shí)可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求，設(shè)軸上存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)等價(jià)于，列方程得，由題意該方程與無(wú)關(guān)，故，從而求得點(diǎn)坐標(biāo)，本題還可以先從特殊值入手，確定定點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．
試題解析：（1）由已知    2分
，
橢圓的方程為；    4分
（2），消去，得，則，可得，設(shè)切點(diǎn)，則，，故，又由，得，設(shè)在上存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，，即    10分
，
對(duì)滿(mǎn)足恒成立，
，
故在軸上存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).  14分
考點(diǎn)：１、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系；3、向量垂直的充要條件．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)
為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)：上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軌跡的兩條切線(xiàn)，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)切線(xiàn)，的斜率分別為，，直線(xiàn)的斜率為，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求△的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為、，且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.
（1）求橢圓方程；
（2）若分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，連接，交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)直線(xiàn)的交點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)，且，又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，試問(wèn)、、、四點(diǎn)是否共圓？若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓E:的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,直線(xiàn)：交橢圓E于C,D兩點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點(diǎn)M在直線(xiàn)上；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，過(guò)且于x軸垂直的直線(xiàn)與橢圓交于S,T，與拋物線(xiàn)交于C，D兩點(diǎn)，且

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線(xiàn)與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A和B，且滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知命題：，命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)．
（1）命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若命題“”為真，命題“”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點(diǎn)為M(0，1)，兩條過(guò)M的動(dòng)弦MA、MB滿(mǎn)足MA⊥MB.
(1)當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓E的準(zhǔn)線(xiàn)距離最短時(shí)，求橢圓E的方程；
(2)若Rt△MAB面積的最大值為，求a；
(3)對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a(a＞1)，動(dòng)直線(xiàn)AB是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？如果經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)(用a表示)；反之，說(shuō)明理由．

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