Question

已知函數(shù)f(x)=

ln(ax)

x+1

-ln(ax)+ln(x+1)，（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當a＞0時，若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意可得

a＞0 ax＞0 x+1＞0

對a 情況討論解不等式可求．
（II）先對函數(shù)y=f（x）進行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（III）由條件：“存在x使得f（x）≥ln（2a）成立令h（x）=1+x-2ln（1+x）”，由（II）知，這時只需只須f(

1

a

)≥ln(2a)，可以得出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a＞0時，由

a＞0 ax＞0 x+1＞0

得x＞0；當a＜0時由

a＜0 ax＞0 x+1＞0

得-1＜x＜0
綜上：當a＞0時函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）；
當a＜0時函數(shù)f（x）的定義域為（-1，0）（3分）
（Ⅱ）f′(x)=

x+1 x -ln(ax)

(x+1)2

-

1

x

+

1

x+1

=

(x+1)-xln(ax)-(x+1)2+x(x+1)

x(x+1)2

=

-ln(ax)

(x+1)2

（5分）
令f'（x）=0時，得lnax=0，即x=

1

a

，
①當a＞0時，x∈(0，

1

a

)時f'（x）＞0，當x∈(

1

a

，+∞)時，f'（x）＜0，
故當a＞0時，函數(shù)的遞增區(qū)間為(0，

1

a

)，遞減區(qū)間為(

1

a

，+∞)
②當-1≤a＜0時，-1＜ax＜0，所以f'（x）＞0，
故當-1≤a＜0時，f（x）在x∈（-1，0）上單調(diào)遞增．
③當a＜-1時，若x∈(-1，

1

a

)，f'（x）＜0；若x∈(

1

a

，0)，f'（x）＞0，
故當a＜-1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

a

，0)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-1，

1

a

)．
綜上：當a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

a

)；單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

a

，+∞)
當-1≤a＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）；
當a＜-1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

1

a

，0)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-1，

1

a

)；（10分）
（Ⅲ）因為當a＞0時，函數(shù)的遞增區(qū)間為(0，

1

a

)；單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

a

，+∞)
若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，只須f(

1

a

)≥ln(2a)，
即ln(

a+1

a

)≤ln2a?

a+1

a

≥2a?

a＞0 - 1 2 ≤a≤1

?0＜a≤1（14分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)的定義域、對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用等知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解答的關(guān)鍵是會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．