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8.如圖,已知a、b、c分別是△ABC的內角A、B、C所對的邊長,a=c,且滿足cosC+(cosA-3sinA)cosB=0,點O是△ABC外一點,OA=2OB=4,則平面四邊形OACB面積的最大值是8+53

分析 依題意,設∠AOB=θ,可求得△ABC為等邊三角形,利用三角形的面積公式與余弦定理可求得SOACB=8sin(θ-π3)+53,(0<θ<π),從而可求得平面四邊形OACB面積的最大值.

解答 解:∵cosC+(cosA-3sinA)cosB=0,
可得:cosAcosB-3sinAcosB=cos(A+B)cosAcosB-sinAsinB,
3sinAcosB=sinAsinB,
又∵A為三角形內角,sinA≠0,
∴可得:tanB=3,
∴由B∈(0,π),可得:B=π3
又∵a=c,
∴△ABC為等邊三角形;
∴SOACB=S△AOB+S△ABC
=12|OA|•|OB|sinθ+12×|AB|2×32
=12×4×2×sinθ+34(|OA|2+|OB|2-2|OA|•|OB|cosθ)
=4sinθ+34(4+16-2×2×4×cosθ)
=4sinθ-43cosθ+53
=8sin(θ-π3)+53,
∵0<θ<π,
∴-π3<θ-π32π3,
∴當θ-π3=π2,即θ=5π6時,sin(θ-π3)取得最大值1,
∴平面四邊形OACB面積的最大值為8+53
故答案為:8+53

點評 本題考查三角函數中的恒等變換應用,考查余弦定理的應用,求得SOACB=8sin(θ-π3)+53是關鍵,也是難點,考查等價轉化思想與運算求解能力,屬于中檔題.

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