Question

一個(gè)平面用n條直線去劃分,最多能被分成幾塊??

      

Answer 1

解:只有當(dāng)這些直線互不平行并且沒(méi)有兩條以上的直線交于同一點(diǎn)時(shí),才能使分成的塊數(shù)為最多.我們假定這兩個(gè)條件都滿足,用a_n表示由n條直線劃分平面時(shí)所產(chǎn)生的塊數(shù).?

       我們從n=1、2、3、4情形入手,然后比較分析其中的規(guī)律,進(jìn)而歸納出a_n.?

       用實(shí)驗(yàn)的方法可得a₁=2,a₂=4,a₃=7,?a₄=11?,觀察這個(gè)數(shù)列,發(fā)現(xiàn)可用二次式表達(dá)為?

       a₁=,a₂=,?

       a₃=,a₄=.?

       由此猜想{a_n}的通項(xiàng)為a_n=.?

       設(shè)n-1條直線把平面分成a_n-1塊,現(xiàn)在我們?cè)偬砑拥?I >n條直線,它與前面n-1條直線相交可得到n-1個(gè)交點(diǎn),這n-1個(gè)交點(diǎn)將第n條直線分成n段,每段將其穿過(guò)的平面塊一分為二,這樣就比原來(lái)多增加了n塊.于是得到遞推公式a_n=a_n-1+n.?

在上式中分別令n=1,2,…,n得n個(gè)等式?

       a₁=1+1,?

       a₂=a₁+2,?

       …?

       a_n=a_n-1+n.?

       把它們加起來(lái),得到?

       a_n=1+(1+2+…+n)=1+.?

       因此,一個(gè)平面用n條直線去劃分,最多被分成塊.?

       溫馨提示:運(yùn)用歸納推理需要考查部分對(duì)象的情形,從而歸納猜想出一般規(guī)律,這樣往往計(jì)算量大,易出偏差,且內(nèi)部潛在的規(guī)律性有時(shí)難于看出來(lái),就用“遞推法”取代“經(jīng)驗(yàn)歸納法”,轉(zhuǎn)向考查問(wèn)題每遞進(jìn)一步所反映的規(guī)律,即探求遞推關(guān)系,最后用初始值及遞推關(guān)系來(lái)尋找一般規(guī)律.