Question

12．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．以原點(diǎn)O為圓心，OF₁為半徑的圓記為曲線C₂．P為雙曲線C₁右支上的一點(diǎn)，PF₁交圓C₂于點(diǎn)E，若有|EF₁|-|EP|=2a，$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=2，則雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，結(jié)合直徑所對(duì)的圓周角為直角，運(yùn)用勾股定理和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=2，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
即為|EF₁|+|EP|=4a，
又|EF₁|-|EP|=2a，
可得|EF₁|=3a，|EP|=a，|EF₂|=$\sqrt{4{a}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
即有4c²=9a²+3a²，即c²=3a²，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和勾股定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．