Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-（a-2）x-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，證明：對任意的x＞0，f（x）+e^x＞x²+x+2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為證明e^x-lnx-2＞0，設(shè)g（x）=e^x-lnx-2，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=2x-（a-2）-$\frac{a}{x}$=$\frac{（x+1）（2x-a）}{x}$…（2分）
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立，
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增；…（4分）
當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0得x＞$\frac{a}{2}$，由f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{a}{2}$，
所以，函數(shù)在區(qū)間（$\frac{a}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，$\frac{a}{2}$）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，f（x）=x²+x-lnx，
要證明f（x）+e^x＞x²+x+2，
只需證明e^x-lnx-2＞0，設(shè)g（x）=e^x-lnx-2，
則問題轉(zhuǎn)化為證明對任意的x＞0，g（x）＞0，
令g′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$=0，得e^x=$\frac{1}{x}$，
容易知道該方程有唯一解，不妨設(shè)為x₀，則x₀滿足${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
當(dāng)x變化時，g′（x）和g（x）變化情況如下表

x	（0，x0）	x0	（x0，∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	遞減		遞增

g（x）_min=g（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-lnx₀-2=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2，
因為x₀＞0，且x₀≠1，所以g（x）_min＞2$\sqrt{1}$-2=0，
因此不等式得證．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．