Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）其圖象關于直線x=1對稱，當0＜x≤1時f（x）=x．
（1）求-1≤x≤3上f（x）的解析式；
（2）解不等式f(x)≥-

1

2

；
（3）求f(x)=

1

100

x在[-200，200]上的根的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，有f（0）=0．根據(jù)函數(shù)有區(qū)間（0，1]上的解析式，得出x∈[-1，0）時的解析式，再由函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱，得到當x∈[1，3]時的解析式，最后得出當-1≤x≤3時，f（x）的解析式（2）由函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱，結合函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，得到f（x）是周期為4的周期函數(shù)．
根據(jù)（1）中函數(shù)解析式結合其周期性畫出函數(shù)f（x）的圖象，結合圖象，得不等式f(x)≥-

1

2

的解集；
（3）對于一次函數(shù)y=

1

100

x，當x=100時，y=1，而函數(shù)y=f（x）的值域為[-1，1]，故只須考慮x∈[-100，100]內(nèi)的根的個數(shù)即可，數(shù)形結合得出f(x)=

1

100

x在[-200，200]上的根的個數(shù)．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，有f（0）=0．
x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]，f（x）=-f（-x）=-（-x）=x．
故x∈[-1，0]時，f（x）=x．
∴x∈[-1，1]時，f（x）=x．
由函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
有f（x+1）=f（1-x），即有f（x）=f（-x+2）．
當x∈[1，3]時，-x+2∈[-1，1]，
f（x）=f（-x+2）=-x+2．
∴當-1≤x≤3時，f（x）的解析式為：
f（x）=

x，-1≤x≤1 -x+2，1＜x≤3

；

（2）由函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．
又函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，有f（-x）=-f（x）．故f（x+2）=-f（x）．
從而f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期為4的周期函數(shù)．
根據(jù)（1）中函數(shù)解析式結合其周期性畫出函數(shù)f（x）的圖象，
結合圖象，得不等式f(x)≥-

1

2

的解集為：
[-

1

2

+4k，

5

2

+4k]，k∈Z；
（3）對于一次函數(shù)y=

1

100

x，當x=100時，y=1，
而函數(shù)y=f（x）的值域為[-1，1]，
故只須考慮x∈[-100，100]內(nèi)的根的個數(shù)即可，
由于100=25×4，且在函數(shù)y=f（x）的一個周期4內(nèi)的交點個數(shù)為2，
從而得出f(x)=

1

100

x在[-200，200]上的根的個數(shù)為25×2+1=51．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)、根的存在性及根的個數(shù)判斷、函數(shù)解析式的求解常用的方法，考查數(shù)形結合思想，本題是一個中檔題目．