如圖,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,D1D平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,AB2AD,ADA1B1,BAD60°.

(1)證明:AA1BD

(2)證明:CC1平面A1BD.

 

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【解析】(1)法一因?yàn)?/span>D1D平面ABCD,且BD?平面ABCD,所以D1DBD.

ABD中,由余弦定理,得

BD2AD2AB22AD·ABcosBAD.

又因?yàn)?/span>AB2AD,BAD60°,所以BD23AD2.

所以AD2BD2AB2,因此ADBD.

ADD1DD,所以BD平面ADD1A1.

AA1?平面ADD1A1,所以AA1BD.

法二因?yàn)?/span>DD1平面ABCD,且BD?平面ABCD,

所以BDD1D.

如圖1,取AB的中點(diǎn)G,連接DG.

1

ABD中,由AB2AD,得AGAD.BAD60°,所以ADG為等邊三角形,所以GDGB,故DBGGDB.

AGD60°,所以GDB30°

所以ADBADGGDB60°30°90°,

所以BDAD.

ADD1DD,所以BD平面ADD1A1.

AA1?平面ADD1A1,所以AA1BD.

(2)如圖2,連接AC,A1C1.

設(shè)ACBD于點(diǎn)E

2

連接EA1.

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為平行四邊形,

所以ECAC.

由棱臺的定義及AB2AD2A1B1知,

A1C1ECA1C1EC,

所以四邊形A1ECC1為平行四邊形,

因此CC1EA1.

又因?yàn)?/span>EA1?平面A1BDCC1?平面A1BD,

所以CC1平面A1BD.

 

練習(xí)冊系列答案
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ABC中,內(nèi)角A,BC所對的邊分別是a,b,c.已知8b5c,C2B,則cos C等于(  )

A. B.- C± D.

 

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設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為lP為拋物線上一點(diǎn)PAl,A為垂足,如果AF的斜率為-,那么|PF|________.

 

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已知傾斜角為α的直線l與直線x2y20平行,則tan 2α的值為(  )

A. B. C. D.

 

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如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個(gè)動點(diǎn)E,FEF,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(  )

AACBE

BEF平面ABCD

C.三棱錐A-BEF的體積為定值

D.異面直線AE,BF所成的角為定值

 

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設(shè)αβ為兩個(gè)不重合的平面,給出下列四個(gè)命題:

α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線,則α平行于β;α外一條直線lα內(nèi)的一條直線平行,則lα平行;設(shè)αβ相交于直線l,若α內(nèi)有一條直線垂直于l,則αβ垂直;直線lα垂直的充分必要條件是lα內(nèi)的兩條直線垂直.其中為真命題的是________(寫出所有真命題的序號)

 

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如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,直線l與平面ABCD平行,EFl上的兩個(gè)不同點(diǎn),且EAED,FBFC.EF是平面ABCD內(nèi)的兩點(diǎn),EEFF都與平面ABCD垂直.

(1)證明:直線EF垂直且平分線段AD

(2)EADEAB60 °,EF2.求多面體ABCDEF的體積.

 

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已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1 006a1 007是方程x22 012x2 0110的兩根,則使Sn>0成立的正整數(shù)n的最大值是(  )

A1006 B1007 C2011 D2012

 

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