Question

（2012•海淀區(qū)二模）某同學(xué)為研究函數(shù)f(x)=

1+x2

+

1+(1-x)2

(0≤x≤1)0＜x＜1）的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD和BEFC，點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x）．請(qǐng)你參考這些信息，推知函數(shù)的極值點(diǎn)是

1

2

，函數(shù)的值域是

[

5

，

2

+1]

．

Answer 1

分析：分別在Rt△PCF和Rt△PAB中利用勾股定理，得PA+PF=

1+x2

+

1+(1-x)2

．運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PF取得最小值；當(dāng)P在點(diǎn)B或點(diǎn)C時(shí)，PA+PF取得最大值．由此即可推知函數(shù)的極值點(diǎn)及函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：Rt△PCF中，PF=

CP2

+CF2=

1+x2

同理可得，Rt△PAB中，PA=

1+(1-x)2

∴PA+PF=

1+x2

+

1+(1-x)2

．
從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，當(dāng)點(diǎn)P從C點(diǎn)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，
在運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)之前，PA+PF的值漸漸變小，過(guò)了中點(diǎn)之后又漸漸變大，
∵當(dāng)點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)上時(shí)，即A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，即P在矩形ADFE的對(duì)角線AF上時(shí)，
PA+PF取得最小值

AE2+EF2

=

5

，
當(dāng)P在點(diǎn)B或點(diǎn)C時(shí)，PA+PF取得最大值

2

+1．
∴

5

≤PA+PF≤

2

+1，可得函數(shù)的極值點(diǎn)是

1

2

；
函數(shù)f（x）=AP+PF的值域?yàn)閇

5

，

2

+1]．
故答案為：

1

2

；[

5

，

2

+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題為例，求函數(shù)的值域，著重考查了勾股定理和函數(shù)的值域及其求法等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．