Question

1．已知等腰梯形ABCD（如圖（1）所示），其中AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AB和CD的中點(diǎn)，且AB=EF=2，CD=6，M為BC中點(diǎn)．現(xiàn)將梯形ABCD沿著EF所在直線折起，使平面EFCB⊥平面EFDA（如圖（2）所示），N是線段CD上一動點(diǎn)，且CN=$\frac{1}{2}$ND．
（1）求證：MN∥平面 EFDA；
（2）求三棱錐A-MNF的體積．

Answer 1

分析 （1）由題意，得平面EFCB⊥平面EFDA，過M作MP⊥EF，得MP⊥平面EFDA，過點(diǎn)N作NQ⊥FD于點(diǎn)Q，連接PQ，由已知可得EF⊥平面CFD，進(jìn)一步得到NQ⊥EF，而NQ⊥FD，
得到NQ⊥平面EFDA，可得MP∥NQ，由CN=$\frac{1}{2}$ND，求得NQ=MP，可得四邊形MNQP為平行四邊形．則MN∥PQ，然后由線面平行的判定得MN∥平面EFDA；
（2）延長DA，CB相交于一點(diǎn)H．由公理3可證DA，F(xiàn)E，CB交于一點(diǎn)H，求得${V_{F-CDH}}=\frac{1}{3}•{S_{△HFD}}•CF=\frac{9}{2}$，由平面幾何知識得：$\frac{{{S_{△AMN}}}}{{{S_{△CDH}}}}=\frac{2}{9}$，得到$\frac{{{V_{F-AMN}}}}{{{V_{F-CDH}}}}=\frac{2}{9}$，利用等積法求得三棱錐A-MNF的體積．

解答 證明：（1）過點(diǎn)M作MP⊥EF于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作NQ⊥FD于點(diǎn)Q，連接PQ
由題意，得平面EFCB⊥平面EFDA，
又MP⊥EF，
∴MP⊥平面EFDA，
由EF⊥CF，EF⊥DF，CF∩DF=F，
得EF⊥平面CFD，
又NQ?平面CFD，
∴NQ⊥EF，
而NQ⊥FD，
∴NQ⊥平面EFDA，
∴MP∥NQ，
又CN=$\frac{1}{2}$ND，
∴$NQ=\frac{2}{3}CF=\frac{2}{3}×3=2$，
$MP=\frac{1}{2}（BE+CF）=\frac{1}{2}×（1+3）=2$，
即MP∥NQ且MP=NQ，
∴四邊形MNQP為平行四邊形．
∴MN∥PQ，
又∵M(jìn)N?平面EFDA，PQ?平面EFDA，
∴MN∥平面EFDA；
解：（2）延長DA，CB相交于一點(diǎn)H．則H∈CB，H∈DA，
又∵CB?平面FEBC，
DA?平面FEAD，
∴H∈平面FEBC，H∈平面FEAD，
即H∈EF，
∴DA，F(xiàn)E，CB交于一點(diǎn)H，
∴${V_{F-CDH}}=\frac{1}{3}•{S_{△HFD}}•CF=\frac{9}{2}$，
又由平面幾何知識得：$\frac{{{S_{△AMN}}}}{{{S_{△CDH}}}}=\frac{2}{9}$
則$\frac{{{V_{F-AMN}}}}{{{V_{F-CDH}}}}=\frac{2}{9}$，于是${V_{A-MNF}}={V_{F-AMN}}=\frac{2}{9}•{V_{F-CDH}}=\frac{2}{9}×\frac{9}{2}=1$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了利用等積法求棱錐的體積，訓(xùn)練了平面幾何知識在求解立體幾何問題中的應(yīng)用，是中檔題．