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10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線C:x2a2-y22=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F(-c,0)(c>0),以O(shè)F為直徑的圓交雙曲線C的漸近線于A,B,O三點(diǎn),且(AO+AFOF=0,若關(guān)于x的方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1和x2,則以|x1|,|x2|,2為邊長的三角形的形狀是(  )
A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰直角三角形

分析 運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)可得|AF|=|AO|,△AOF為等腰直角三角形,求得漸近線的斜率,進(jìn)而得到c=2a,方程ax2+bx-c=0即為x2+x-2=0,求得兩根,求得平方,運(yùn)用余弦定理,即可判斷三角形的形狀.

解答 解:由(AO+AFOF=0,可得
AO+AF)•(AF-AO)=0,
即有AF2-AO2=0,
即|AF|=|AO|,△AOF為等腰直角三角形,
可得∠AOF=45°,
由漸近線方程y=±ax,
可得a=1,c=2a,
則關(guān)于x的方程ax2+bx-c=0即為x2+x-2=0,
即有x1x2=-2,x1+x2=-1,
即有x12+x22=1+22<4,
可得以|x1|,|x2|,2為邊長的三角形的形狀是鈍角三角形.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的形狀的判斷,注意運(yùn)用余弦定理,考查雙曲線的漸近線方程的運(yùn)用,以及向量的數(shù)量積的性質(zhì),考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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