解答:解:(1)因為a=2,且x∈[2,3],所以f(x)=e
|x-3|+e
|x-2|+1=e
3-x+e
x-1=
+≥2=2e,
當且僅當x=2時取等號,所以f(x)在x∈[2,3]上的最小值為2e …4分
(2)由題意知,當x∈[a,+∞) 時,e
|x-2a+1|≤e
|x-a|+1,即|x-2a+1|≤|x-a|+1 恒成立…6分
所以|x-2a+1|≤x-a+1,即2ax≥3a
2-2a 對x∈[a,+∞) 恒成立,
則由
,得所求a的取值范圍是0≤a≤2…9分
(3)記h
1(x)=|x-(2a-1)|,h
2(x)=|x-a|+1,則h
1(x),h
2(x)的圖象分別是以(2a-1,0)和(a,1)為頂點開口向上的V型線,且射線的斜率均為±1.
①當1≤2a-1≤6,即1≤a≤
時,∴g(x)在x∈[1,6]上的最小值為f
1(2a-1)=e
0=1…10分
②當a<1時,可知2a-1<a,所以
(。┊攈
1(a)≤h
2(a),得|a-(2a-1)|≤1,即-2≤a≤0時,在x∈[1,6]上,h
1(x)<h
2(x),即f
1(x)>f
2(x),所以g(x)=f
2(x)的最小值為f
2(1)=e
2-a;
(ii)當h
1(a)>h
2(a),得|a-(2a-1)|>1,即a<-2或0<a<1時,在x∈[1,6]上,h
1(x)>h
2(x),即f
1(x)<f
2(x),所以g(x)=f
1(x)的最小值為f
1(1)=e
3-2a;
③當a>
時,因為2a-1>a,可知2a-1>6,且h
1(6)=2a-7>a-5=h
2(6),所以
(。┊
<a≤6時,g(x)的最小值為f
2(a)=e
(ii)當a>6時,因為h
1(a)=a-1>1=h
2(a),∴在x∈[1,6]上,h
1(x)>h
2(x),即f
1(x)<f
2(x),所以g(x)在x∈[1,6]上的最小值為f
2(6)=e
a-5…15分
綜上所述,函數(shù)g(x)在x∈[1,6]上的最小值為
| 1,1≤a≤ | e2-a,-2≤a≤0 | e3-3a,a<-2或0<a<1 | e,<a≤6 | ea-5,a>6 |
| |
…16分