Question

已知a，b都是區(qū)間[0，4]內(nèi)任取的一個數(shù)，那么函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+b²x+2在x∈R上是增函數(shù)的概率是

 

．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：這是一個幾何概型問題，我們可以先畫出a，b∈[0，4]，對應的平面區(qū)域的面積，然后再求出滿足條件函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)時對應的平面區(qū)域的面積，計算出對應的面積后，代入幾何概型公式即可得到答案．

解答： 解：f'（x）=x²-2ax+b²
若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，則對于任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以，△=4a²-4b²≤0，即（a+b）（a-b）≤0
設(shè)“f（x）在R上是增函數(shù)”為事件A，則事件A對應的區(qū)域為{（a，b）|（a+b）（a-b）≤0}
全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域{Ω=（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤4}，如圖．
所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率是

1 2 ×4×4

4×4

=

1

2

．
故答案為：

1

2

點評：這是一個幾何概型的概率題，本題的關(guān)鍵是找到事件對應的區(qū)域和試驗的全部結(jié)果，根據(jù)幾何概型公式就可以算出結(jié)果．