Question

已知拋物線C：y=x²，直線l：x-2y-2=0，點P是直線l上任意一點，過點P作拋物線C的切線PM，PN，切點分別為M，N，直線PM，PN斜率分別為k₁，k₂，如圖所示
（1）若P（4，1），求證：k₁+k₂=16；
（2）若MN過拋物線的焦點，求點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設過P的切線方程：y-1=k（x-4），代入拋物線C得：x²-kx+4k-1=0，由△=0，能證明k₁+k₂=16．
（2）設MN：y=kx+

1

4

，代入拋物線方程得x2-kx-

1

4

=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），對y=x²求導數(shù)，求出直線PM和直線PN的方程，由此能求出點P的坐標．

解答： （本小題12分）
（1）證明：設過P的切線方程為：y-1=k（x-4），
代入拋物線C，消去y得：x²-kx+4k-1=0，
由△=k²-4（4k-1）=0，∴k²-16k+4=0，
∵該方程的兩個根為直線PM，PN斜率k₁，k₂，
∴k₁+k₂=16．（5分）
（2）解：∵拋物線的焦點(0，

1

4

)，∴設MN：y=kx+

1

4

，
代入拋物線方程消去y得：x2-kx-

1

4

=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=k，x1x2=-

1

4

，
對y=x²求導數(shù)，y'=2x，∴k₁=2x₁，k₂=2x₂，
∴直線PM：y-y₁=2x₁（x-x₁），直線PN：y-y₂=2x₂（x-x₂），
∴點P(k，-

1

4

)，∵P在直線l上，∴k=

3

2

，
∴P(

3

2

，-

1

4

)．（12分）

點評：本題考查兩直線斜率和為16的證明，考查點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．