【題目】已知函數(shù),,,為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在上存在零點,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)在處的切線方程為.求證:對任意的,總有.
【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)見解析.
【解析】分析:(Ⅰ)首先利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后由此求出函數(shù)的最小值,只要最小值小于0即可求出實數(shù)的取值范圍;(Ⅱ)首先由條件得出的值確定函數(shù)解析式,然后由得到,最后構(gòu)造前后兩個函數(shù),驗證前一個函數(shù)的最小值大于后一個函數(shù)的最大值。
詳解:(Ⅰ)易得.
若,有,不合題意;
若,有,
,滿足題設(shè);
若,令,得
∴在上單調(diào)遞減;在單調(diào)遞增,
則,∴.
又滿足題設(shè),
綜上所述,所求實數(shù).
(Ⅱ)證明:易得,,
則由題意,得,解得.
∴,從而,即切點為.
將切點坐標代入中,解得. ∴.
要證,即證( ,
只需證 ).
令, .
則由,得,
∴在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增,
∴.
又由,得
∴在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,
∴.
∴,
顯然,上式的等號不能同時取到.
<>故對任意的,總有.科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓:,圓關(guān)于直線對稱,圓心在第二象限,半徑為.
(1)求圓的方程;
(2)直線與圓相切,且在軸、軸上的截距相等,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(﹣x)=f(x),且f(x+2)=f(x)+f(2),當x∈[0,1]時,f(x)=x,那么在區(qū)間[﹣1,3]內(nèi),關(guān)于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R)且k≠﹣1恰有4個不同的根,則k的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給出下列說法,正確的有__________.
①與共線單位向量的坐標是;
②集合與集合是相等集合;
③函數(shù)的圖象與的圖象恰有3個公共點;
④函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象水平向右平移一個單位后,將所得圖象在軸右側(cè)部分沿軸翻折到軸左側(cè)替代軸左側(cè)部分圖象,并保留右側(cè)部分而得到.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)=Asin(A>0,>0,<≤)在處取得最大值2,其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為。
(1)求的解析式;
(2)求函數(shù) 的值域。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C的圓心C在直線上.
若圓C與y軸的負半軸相切,且該圓截x軸所得的弦長為,求圓C的標準方程;
已知點,圓C的半徑為3,且圓心C在第一象限,若圓C上存在點M,使為坐標原點,求圓心C的縱坐標的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在x=1處取得極值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù) ,若對任意的,總存在,使得成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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