Question

過雙曲線

x2

4

-

y2

4

=1的右焦點F作直線l與雙曲線交于A、B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線l有

2

條．

Answer 1

分析：分為以下3種情況討論：①假設(shè)l⊥x軸；②假設(shè)直線l的斜率k=0，即取x軸時，直線l與雙曲線的兩個交點分別為左右頂點；③假設(shè)直線l的斜率存在且不為0時，由雙曲線的性質(zhì)可得．

解答：解：如圖所示，
由雙曲線

x2

4

-

y2

4

=1得a²=b²=4，∴c=

2

a=2

2

．可得：頂點（±2，0），右焦點F(2

2

，0)．
①假設(shè)l⊥x軸，把x=2

2

代入雙曲線方程得

(2 2 )2

4

-

y2

4

=1，解得y=±2，此時|AB|=4滿足條件，因此直線x=2

2

滿足題意；
②假設(shè)直線l的斜率k=0，即取x軸時，直線l與雙曲線的兩個交點分別為左右頂點，此時滿足|AB|=4．
③假設(shè)直線l的斜率存在且不為0時，由雙曲線的性質(zhì)可得：若直線l與雙曲線的右支相交于兩點，則兩個交點的距離|AB|＞直線l經(jīng)過右焦點且與x軸垂直時的兩個交點的距離4；
若直線l與雙曲線的左右支相交于兩點，則兩個交點的距離|AB|＞兩個頂點的距離4．
綜上可知：滿足條件的直線有且只有2條．
故答案為2．

點評：本題考查了直線與雙曲線相交的弦長問題、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．