(本小題滿分12分)
如右圖所示,已知直四棱柱的底面是菱形,且,,F(xiàn)為的中點(diǎn),M為線段的中點(diǎn)。
(1)求證:直線MF平面ABCD
(2)求證:直線MF平面
(3)求平面與平面ABCD所成二面角的大小
(1)略(2)略(3) 或
解法一:(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,因?yàn)辄c(diǎn)M、F分別為、的中點(diǎn),所以,
又,――――――――3分
(2)因?yàn)榈酌鏋榱庑吻?img width=70 height=22 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/132/283132.gif">,所以四邊形與全等,
又點(diǎn)F為中點(diǎn),所以,在等腰△中,
因?yàn)?img width=122 height=22 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/139/283139.gif">,所以,可得,
所以(線面垂直判定定理)
――――――――――――――――――――7分
(3)延長(zhǎng),連接AQ,則AQ為平面與平面ABCD的交線.
所以FB為△的中位線, 則QB=BC,設(shè)底面菱形邊長(zhǎng)為a,可得AB=QB=a,
又 所以 那么△ABQ為等邊三角形.
取AQ中點(diǎn)N,連接BN、FN,則為所求二面角的平面角或其補(bǔ)角.
在△FNB中, ――――――11分
即所求平面與平面ABCD所成二面角的平面角為或―――――――12分
(說明:答對(duì)一個(gè)即給滿分)
解法二:設(shè),因?yàn)镸、O分別為的中點(diǎn),∴MO∥
又由直四棱柱知,∴
在棱形ABCD中,,∴OB、OC、OM兩兩垂直,故可以O(shè)為原點(diǎn),OB、OC、OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示。―――――――――2分
若設(shè),則B,,,,
(1)由F、M分別為中點(diǎn)可知,M(0,0,1)
∴(1,0,0)=,又因?yàn)?img width=26 height=14 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/170/283170.gif">和不共線,∴∥OB
又因?yàn)?img width=104 height=18 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/173/283173.gif">,OB平面ABCD,∴MF∥平面ABCD――――――――5分
(2),而(1,0,0)為平面yOz(亦即平面)的法向量
∴直線MF⊥平面――――――――――――――――――――――――8分
(3)為平面ABCD的法向量,
設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,
由,,得:
令y=1,得z=,此時(shí)
設(shè)平面與平面ABCD所成二面角的大小為,
則
所以或,即平面與平面ABCD所成二面角的大小為或――12分
(說明:答對(duì)一個(gè)即給滿分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)
為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng),某市決定新建一批重點(diǎn)工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類,這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).求:
(I)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2,
(注:利潤(rùn)與投資單位是萬元)
(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn),其最大利潤(rùn)為多少萬元.
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