Question

【題目】已知函數(shù)有兩個極值點(為自然對數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅱ)求證：.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】分析：(Ⅰ) 函數(shù)有兩個極值點，只需有兩個根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理與函數(shù)圖象可得當時，沒有極值點；當時，當時，有兩個極值點；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，為的兩個實數(shù)根，，在上單調(diào)遞減，問題轉(zhuǎn)化為，要證，只需證，即證，利用導(dǎo)數(shù)可得，從而可得結(jié)論.

詳解： (Ⅰ)∵，∴.

設(shè)，則.

令，解得.

∴當時，；當時，.

∴.

當時，，∴函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值點；

當時，，且當時，；當時，.

∴當時，有兩個零點.

不妨設(shè)，則.

∴當函數(shù)有兩個極值點時，的取值范圍為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，為的兩個實數(shù)根，，在上單調(diào)遞減.

下面先證，只需證.

∵，得，∴.

設(shè)，，

則，∴在上單調(diào)遞減，

∴，∴，∴.

∵函數(shù)在上也單調(diào)遞減，∴.

∴要證，只需證，即證.

設(shè)函數(shù)，則.

設(shè)，則，

∴在上單調(diào)遞增，∴，即.

∴在上單調(diào)遞增，∴.

∴當時，，則，

∴，∴.