Question

已知圓過(guò)定點(diǎn)，圓心在拋物線上，、為圓與軸的交點(diǎn)．

（1）當(dāng)圓心是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求拋物線準(zhǔn)線被該圓截得的弦長(zhǎng)．

（2）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為一定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

（3）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記，，求的最大值，并求出此時(shí)圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）是定值，為2；（3）取得最大值，此時(shí)圓的方程為．

【解析】

試題分析：（1）這是關(guān)于圓的基本計(jì)算問(wèn)題，圓心是拋物線的頂點(diǎn)，又圓過(guò)點(diǎn)，可得圓半徑為，就得出了圓的方程，拋物線的準(zhǔn)線為，與圓相交弦長(zhǎng)可用直角三角形法求解，弦心距，弦的一半，相應(yīng)半徑可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，應(yīng)用勾股定理易得；（2）圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，與（1）同法可得弦長(zhǎng)，當(dāng)然本題中弦在軸上，故可在圓方程中令，求出，也即求出為定值；（3）根據(jù)圓的性質(zhì)，由（2）可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，這樣就可用來(lái)表示，可求得，時(shí)，有，時(shí)，利用基本不等式有，從而（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立），故所求最大值為．

試題解析：（1）拋物線的頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，圓的半徑等于1，圓的方程為．弦長(zhǎng)         4分

（2）設(shè)圓心，則圓的半徑，

圓的方程是為：    6分

令，得，得，，

是定值．      8分

（3）由（2）知，不妨設(shè)，，，．

．      11分

當(dāng)時(shí)，．      12分

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立          14分

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)圓的方程為．

            16分

考點(diǎn)：（1）拋物線的幾何性質(zhì)，圓的弦長(zhǎng)公式；（2）圓的弦長(zhǎng)；（3）基本不等式與最大值問(wèn)題．