分析:(1)將Sn與an的遞推關(guān)系仿寫一個新的等式,兩個式子相減;利用等比數(shù)列的定義證得{an}是等比數(shù)列.
(2)利用等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的通項公式求出bn.
(3)據(jù)數(shù)列的通項公式的特點:是分式形式,且分子是常數(shù),分母是等差數(shù)列兩項的乘積,所以利用裂項法求出數(shù)列的前n項和,求出和的極限值.
解答:解:(1)n≥2時,t(S
n+1+1)=(2t+1)S
n,
得t(S
n+1)=(2t+1)S
n-1,
相減得:
=2+
,
n=1時,有t(S
2+1)=(2t+1)S
1,
又由S
2=a
1+a
2,
故有
=2+
,
∴{a
n}是等比數(shù)列.
(2)b
n+1=f(
)=2+b
n,
∴b
n+1-b
n=2,b
1=1,
得b
n=2n-1.
(3)c
n=
=
=
(-)∴T
n=
[(1-)+(-)++(-)=
(1-).
∴
Tn=
.(5分)
點評:本題考查已知和與項的遞推關(guān)系求通項常采用的方法是仿寫作差;考查求數(shù)列的前n項和的方法:關(guān)鍵是看通項的特點:當(dāng)通項為分式形式,且分子是常數(shù),分母是等差數(shù)列兩項的乘積是采用的方法是裂項求和.