定義域為R的函數(shù)y=f（x）對于任意x都有f(x+2)=
2
f(x)，當x∈[0，2]時f(x)=sin(
π
2
x)，則方程f(x)-
x
=0，x∈[0，8]的根的個數(shù)為（　�。�
分析：根據(jù)已知條件先求出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，8]上的解析式，然后再同一坐標系中畫出函數(shù)y=f（x）、y=
x
的圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合函數(shù)的圖象即可得出二圖象的交點個數(shù)．
即方程f（x）-
x
=0的根的個數(shù)．
解答：解：設(shè)x∈（2，4]時，（x-2）∈（0，2]，∴f（x）=
2
sin[
π
2
(x-2)]=-
2
sin(
π
2
x)；
同理x∈（4，6]，f（x）=2sin(
π
2
x)；x∈（6，8]，f（x）=-2
2
sin(
π
2
x)．
即f（x）=
sin(
π
2
x)，當x∈[0，2]時
-
2
sin(
π
2
x)，當x∈(2，4]時
2sin(
π
2
x)，當x∈(4，6]時
-2
2
sin(
π
2
x)，當x∈(6，8]時

在同一坐標系中分別畫出函數(shù)y=f（x）、y=
x
的圖象，如圖所示．
①當x≤x≤1時，∵f（0）=0=
0
，f(
1
2
)=
2
2
=
1
2
，f（1）=1=
1
，∴在區(qū)間[0，1]上有三個交點；
②當1＜x≤6時，由圖象可以看出函數(shù)y=f（x）與y=
x
的圖象無交點；
③當6＜x＜8時，∵
7
＜f(7)=2
2
，由圖象和函數(shù)的單調(diào)性可得：在此區(qū)間內(nèi)有兩個交點．
④當x=8時，f（8）=0＜
8
，無交點．
綜上可知：在區(qū)間[0，8]內(nèi)，函數(shù)y=f（x）與y=
x
的交點共有5個，即方程f（x）-
x
=0在區(qū)間x∈[0，8]的根的個數(shù)為5．
故選C．
點評：由已知條件正確求出函數(shù)y=f（x）的解析式并畫出函數(shù)y=f（x）、y=
x
的圖象是解題的關(guān)鍵．數(shù)形結(jié)合思想方法是解此類題目常用的方法之一．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為R的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）f（x-1）=1，且f（3）=3，則f（2009）=（　　）
A、3
B、
1
3
C、2009
D、
1
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

12、已知定義域為R的函數(shù)y=f（x），則下列命題：
①若f（x-1）=f（1-x）恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1的對稱；
②若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）點對稱；
③函數(shù)y=f（x-1）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
④函數(shù)y=-f（x-1）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于原點對稱；
⑤若f（1+x）+f（x-1）=0恒成立，則函數(shù)y=f（x）以4為周期．
其中真命題的有（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對定義域是Df．Dg的函數(shù)y=f（x）．y=g（x），
規(guī)定：函數(shù)h（x）=
f(x)g(x)，當x∈Df且x∈Dg
f(x)，當x∈Df且x∉Dg
g(x)，當x∉Df且x∈Dg
．
（1）若函數(shù)f（x）=
1
x-1
，g（x）=x2，寫出函數(shù)h（x）的解析式；
（2）求問題（1）中函數(shù)h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù)y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義域為R的函數(shù)y=f（x）的值域為[1，2]，則函數(shù)y=f（x+2）的值域為
[1，2]
[1，2]
．

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