Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2，橢圓C上一動點到右焦點F距離的最大值為2+$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點D（0，-2）作直線l與曲線C交于A，B兩點，求△OAB面積的最大值，并求此時的直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的短軸長為2，橢圓C上一動點到右焦點F距離的最大值為2+$\sqrt{3}$，列出方程組，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）依題意l斜率存在，其方程為y=kx+2，代入橢圓方程，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，由此入手能夠求出△OAB面積的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2，
橢圓C上一動點到右焦點F距離的最大值為2+$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{a+c=2+\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）由題意設(shè)直線l的方程為y=kx-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²-16kx+12=0，
消去y整理得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
△=（-16k）²-4（4k²+1）×12=4（4k²-3），
由△＞0，得4k²-3＞0，①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{16k}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{12}{4{k}^{2}+1}$．②
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{16k}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{12}{4{k}^{2}+1}]}$，③
原點到直線l距離為d=$\frac{|-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，④
由面積公式及③④得
S_△OAB=$\frac{1}{2}$×|AB|d
=4$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-3}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=4$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-3}{（4{k}^{2}-3）^{2}+8（4{k}^{2}-3）+16}}$
=4$\sqrt{\frac{1}{4{k}^{2}-3+8+\frac{16}{4{k}^{2}-3}}}$≤4$\sqrt{\frac{1}{16}}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng) 4k2-3=$\frac{16}{4{k}^{2}-3}$，即4k²-3=4時，等號成立．
此時S_△OAB最大值為1．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化，是中檔題．