Question

如圖，已知中心在原點且焦點在x軸上的橢圓E經(jīng)過點A（3，1），離心率e=

6

3

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點A且斜率為1的直線交橢圓E于A、C兩點，過原點O與AC垂直的直線交橢圓E于B、D兩點，求證A、B、C、D四點在同一個圓上．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的方程，利用橢圓E經(jīng)過點A（3，1），離心率e=

6

3

，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓E的方程；
（2）確定B，C，D的坐標，求出過這三點的圓，驗證A滿足方程即可．

解答：（1）解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），因為離心率e=

6

3

，所以a²=3b²，…（2分）
所以橢圓方程為

x2

3b2

+

y2

b2

=1，
又因為經(jīng)過點A（3，1），則

9

3b2

+

1

b2

=1，…（4分）
所以b²=4，所以a²=12，屬于橢圓的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．…（6分）
（2）證明：直線AC的方程為y=x-2，與橢圓方程聯(lián)立，可得x²-3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，-2）
直線BD的方程為y=-x，與橢圓方程聯(lián)立，可得x²=3，∴x=±

3

，∴B（

3

，-

3

），D（-

3

，

3

）
設經(jīng)過B，C，D三點的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則有

4+2E+F=0 6+ 3 D- 3 E+F=0 6- 3 D+ 3 E+F=0

∴D=-1，E=-1，F(xiàn)=-6，∴圓的方程為x²+y²-x-y-6=0，
∵點A（3，1）也適合，∴A（3，1）在圓上，
∴A、B、C、D四點在同一個圓上．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓的方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．