Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）^{3}，x≤m}\\{|2x-1|，x＞m}\end{array}\right.$，若存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)g（x）=f（x）-a有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-a有兩個(gè)零點(diǎn)，可得f（x）=a有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可求m的范圍．

解答 解：∵g（x）=f（x）-a有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）=a有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由（2x-1）³=|2x-1|可得，x=1或x=$\frac{1}{2}$，
①當(dāng)m＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，

此時(shí)存在a，滿足題意，故m＞1滿足題意；
②當(dāng)m=1時(shí)，由于函數(shù)f（x）在定義域R上單調(diào)遞增，故不符合題意；
③當(dāng)$\frac{1}{2}$＜m＜1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故不符合題意；

④m=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，故不符合題意；
⑤當(dāng)m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，

此時(shí)存在a使得，y=f（x）與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)．
綜上可得，m＜$\frac{1}{2}$或m＞1．
故答案為：（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)的零點(diǎn)問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．