在棱長(zhǎng)AB=AD=2,AA1=3的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是平面BCC1B1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是CD的中點(diǎn).試確定點(diǎn)E的位置,使D1E⊥平面AB1F.
分析:分別以AB、AD、AA1為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.可得A、B1、D1、F各點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)E(2,y,z),得出向量
AF
、
AB 1
D1E
的坐標(biāo).若D1E⊥平面AB1F,則D1E⊥AB1且D1E⊥AF,利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組,解出y=1且z=
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,得E(2,1,
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),因此可得存在平面BCC1B1上的動(dòng)點(diǎn)E,當(dāng)E到BB1和BC的距離分別為1、
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時(shí),可使D1E⊥平面AB1F.
解答:解:分別以AB、AD、AA1為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示
可得A(0,0,0),B1(2,0,3),D1(0,2,3),F(xiàn)(1,2,0)
設(shè)E(2,y,z),則
AF
=(1,2,0)
,
AB 1
=(2,0,3)
,
D1E
=(2,y-2,z-3)

若D1E⊥平面AB1F,則D1E⊥AB1且D1E⊥AF
D1E
AF
=2+2(y-2)=0
D1E
AB1
=4+3(z-3)=0
,解之得y=1,z=
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即E的坐標(biāo)為(2,1,
5
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)時(shí),D1E⊥平面AB1F.
因此,存在平面BCC1B1上的動(dòng)點(diǎn)E,當(dāng)E到BB1的距離等于1且到BC的距離
等于
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時(shí),可使D1E⊥平面AB1F.
點(diǎn)評(píng):本題在長(zhǎng)方體中探索線面垂直垂直的問題,著重考查了長(zhǎng)方體的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)與判定和利用空間坐標(biāo)系研究線面垂直等知識(shí),屬于中檔題.
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(2011•大連二模)如圖,在棱長(zhǎng)AB=AD=2,AA1=3的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是平面BCC1B1內(nèi)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)試確定E的位置,使D1E⊥平面AB1F;
(Ⅱ)求平面AB1F與平面ABB1A1所成的銳二面角的大。

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如圖,在棱長(zhǎng)AB=AD=2,AA1=3的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是平面BCC1B1內(nèi)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)試確定E的位置,使D1E⊥平面AB1F;
(Ⅱ)求平面AB1F與平面ABB1A1所成的銳二面角的大。

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