【題目】如圖，已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率e= ，過點(diǎn)（0，﹣b），（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為 ，M（x0 ， y0）是橢圓上任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=2作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若記直線OP，OQ的斜率分別為k1 ， k2 ， 試求k1k2的值．

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e= = = ，
即a2=2b2 ， ①
設(shè)過點(diǎn)（0，﹣b），（a，0）的直線方程為 ，
即bx﹣ay﹣ab=0，
因?yàn)橹本�與原點(diǎn)的距離為 ，
∴ = ，整理得： =2，②
由①②得 ，
∴橢圓的方程為 ；
（Ⅱ）由直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓M相切，
由直線和圓相切的條件：d=r，可得 = = ，
平方整理，可得k12（2﹣x02）+2k1x0y0+2﹣y02=0，
k22（2﹣x02）+2k2x0y0+2﹣y02=0，
∴k1 ， k2是方程k2（2﹣x02）+2kx0y0+2﹣y02=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
k1k2= ，
由點(diǎn)R（x0 ， y0）在橢圓C上，
∴ ，即y02=3（1﹣ ）=3﹣ x02 ，
∴k1k2= =﹣ ，
k1k2的值為﹣ ．
【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率公式可知a2=2b2 ， 利用點(diǎn)到直線的距離公式 =2，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線的距離公式，可知k1 ， k2是方程k2（2﹣x02）+2kx0y0+2﹣y02=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理即可求得k1k2 ， 由R（x0 ， y0）在橢圓C上，y02=3﹣ x02 ， 代入即可求得k1k2的值．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】曲線y=1+ 與直線y=k（x﹣2）+4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（1）若函數(shù)與的圖象恰好相切與點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的值；

（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ，a為常數(shù)，且a∈（0，1）．
（1）若x0滿足f（x0）=x0 ， 則稱x0為f（x）的一階周期點(diǎn)，證明函數(shù)f（x）有且只有兩個(gè)一階周期點(diǎn)；
（2）若x0滿足f（f（x0））=x0 ， 且f（x0）≠x0 ， 則稱x0為f（x）的二階周期點(diǎn)，當(dāng)a= 時(shí)，求函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0， ））的圖象在y軸上的截距為1，在相鄰兩個(gè)最值點(diǎn) 和（x0 ， ﹣2）上（x0＞0），函數(shù)f（x）分別取最大值和最小值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x）= 在區(qū)間 內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求k的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間 上的對(duì)稱軸方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1= ．
（Ⅰ）求證：an+1＜an；
（Ⅱ）求證： ≤an≤ ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=asinx﹣bcosx（a、b為常數(shù)，a≠0，x∈R）在x= 處取得最小值，則函數(shù)y=f（ ﹣x）是（ ）
A.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱
B.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
C.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱
D.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2alnx．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù) 在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2asinB﹣ bcosA=0．
（1）求cosA；
（2）若a= ，b=2，求△ABC的面積．

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