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已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表．f（x）的導函數y=f'（x）的圖象如圖所示．
x-1245
f（x）1221
下列關于函數f（x）的命題：
①函數f（x）在[0，1]上是減函數；
②如果當x∈[-1，t]時，f（x）最大值是2，那么t的最大值為4；
③函數y=f（x）-a有4個零點，則1≤a＜2；
④已知（a，b）是的一個單調遞減區(qū)間，則b-a的最大值為2．
其中真命題的個數是（ ）
A．4個
B．3個
C．2個
D．1個
【答案】分析：由導數圖象可知，函數的單調性，故可判斷①；結合表格中幾個特殊點的函數值，結合函數的單調性，分析t取不同值時，函數的最大值變化情況，可判斷②；結合表格中幾個特殊點的函數值，結合函數的單調性，分析函數的極值，分析可判斷③；根據f（x）的單調性，分析出的單調性，進而求出b-a的最大值．
解答：解：由導數圖象可知，
當-1＜x＜0或1＜x＜4時，f'（x）＞0，函數單調遞增，
當0＜x＜1或4＜x＜5，f'（x）＜0，函數單調遞減，所以①正確；
當x=0和x=4，函數取得最大值f（0）=2，f（4）=2，
當x∈[-1，t]時，f（x）最大值是2，那么t的最大值為5，故②不正確；
由f（-1）=f（5）=1，結合函數的單調性，
可得若y=f（x）-a有4個零點，則1≤a＜2，故③正確；
∵的單調性與y=f（x）的單調性相反，
結合的定義域為[-1，a）∪（a，2）∪（2，5]，其中a∈（0，1）
故在（-1，0），（a，2），（2，4）上為減函數，
故（a，b）是的一個單調遞減區(qū)間，則b-a的最大值為2，故④正確
故四個命題中有3個為真命題
故選B
點評：本題考查導數知識的運用，考查導函數與原函數圖象之間的關系，正確運用導函數圖象是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列說法正確的有（　　）個．
①已知函數f（x）在（a，b）內可導，若f（x）在（a，b）內單調遞增，則對任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函數f（x）圖象在點P處的切線存在，則函數f（x）在點P處的導數存在；反之若函數f（x）在點P處的導數存在，則函數f（x）圖象在點P處的切線存在．
③因為3＞2，所以3+i＞2+i，其中i為虛數單位．
④定積分定義可以分為：分割、近似代替、求和、取極限四步，對求和In=
n
i=1
f(ξi)△x中ξi的選取是任意的，且In僅于n有關．
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根，則實數p，q的值分別是12，26．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個相鄰函數的交點為A，B，若m變化時，AB的長度是一個定值，則AB的值是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（Ⅰ）已知函數f（x）=x3-x，其圖象記為曲線C．
（i）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（ii）證明：若對于任意非零實數x1，曲線C與其在點P1（x1，f（x1））處的切線交于另一點P2（x2，f（x2）），曲線C與其在點P2（x2，f（x2））處的切線交于另一點P3（x3，f（x3）），線段P1P2，P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1，S2．則
S1S2
為定值；
（Ⅱ）對于一般的三次函數g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x3-ax+b存在極值點．
（1）求a的取值范圍；
（2）過曲線y=f（x）外的點P（1，0）作曲線y=f（x）的切線，所作切線恰有兩條，切點分別為A、B．
（�。┳C明：a=b；
（ⅱ）請問△PAB的面積是否為定值？若是，求此定值；若不是求出面積的取值范圍．

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