已知橢圓數(shù)學(xué)公式的離心率為數(shù)學(xué)公式,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+數(shù)學(xué)公式=0相切,過點(diǎn)P(4,0)的直線L與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程; 
(2)求數(shù)學(xué)公式的取值范圍.

解:(1)由題意知 e==,∴e2===,即a2=b2
又∵橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切
∴b==,∴a2=4,b2=3,
故橢圓的方程為
(2)由題意知直線AB的斜率存在,設(shè)直線PB的方程為y=k(x-4).
由直線方程代入橢圓方程可得:(3+4k2)x2-8k2x+64k2-12=0
由△>0得:64k4-4(3+4k2)(64k2-12)>0,解得k2
設(shè)A(x1,y1),B (x2,y2),則x1+x2=,x1x2=



的取值范圍是
分析:(1)根據(jù)離心率為,可得a2=b2,根據(jù)橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,可求b的值,從而可得橢圓的方程;
(2)由題意知直線AB的斜率存在,設(shè)直線PB的方程代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,及向量的數(shù)量積公式,即可確定的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的幾何性質(zhì),考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系,利用直線與橢圓聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的離心率為e,兩焦點(diǎn)分別為F1、F2,拋物線C以F1為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn),點(diǎn)P為拋物線和橢圓的一個(gè)交點(diǎn),若e|PF2|=|PF1|,則e的值為( 。
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對(duì)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的離心率為
1
2
,焦點(diǎn)是(-3,0),(3,0),則橢圓方程為(  )
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在由圓O:x2+y2=1和橢圓C:
x2
a2
+y2
=1(a>1)構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中,已知橢圓的離心率為
6
3
,直線l與圓O相切于點(diǎn)M,與橢圓C相交于兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,使得
OA
OB
=
1
2
OM
2
,若存在,求此時(shí)直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知橢圓的離心率為
2
2
,準(zhǔn)線方程為x=±8,求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上6:30-7:30之間把報(bào)紙送到你家,你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7:00-8:00之間,請(qǐng)你求出父親在離開家前能得到報(bào)紙(稱為事件A)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,A,B是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右頂點(diǎn),M是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),已知橢圓的離心率為e,右準(zhǔn)線l的方程為x=m.
(1)若e=
1
2
,m=4,求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線AM交l于點(diǎn)P,以MP為直徑的圓交MB于Q,若直線PQ恰過原點(diǎn),求e.

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