Question

11．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是不共線的兩個向量，且$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$＞0，|$\overrightarrow$|≥4，若對任意m，n∈R，|$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$|的最小值是1，|$\overrightarrow$+n$\overrightarrow{a}$|的最小值是2，則$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的最小值是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 數(shù)形結(jié)合，|$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$|取得最小值是|CB|=1，|$\overrightarrow$+n$\overrightarrow{a}$|取得最小值是|DA|=2．根據(jù)sin∠BOC=$\frac{|BC|}{|0B|}$=$\frac{|AB|}{|OA|}$=$\frac{1}{|OB|}$=$\frac{2}{|OA|}$，以及|OA|≥4，可得|OB|≥2，sin∠BOC≤$\frac{1}{2}$，故有∠BOC≤$\frac{π}{6}$，由此求得則$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=|OA|•|OB|•cos∠BOC的最小值．

解答 解：已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是不共線的兩個向量，且$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$＞0，|$\overrightarrow$|≥4，
若對任意m，n∈R，
如圖，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OC}$=-m$\overrightarrow$，
則$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$，
則由題意可得，當(dāng)（$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$時，|$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$|取得最小值是|CB|=1．
設(shè)$\overrightarrow{OD}$=-n$\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow$+n$\overrightarrow{a}$，
當(dāng)（$\overrightarrow$+n$\overrightarrow{a}$ ）⊥$\overrightarrow{a}$時，|$\overrightarrow$+n$\overrightarrow{a}$|取得最小值是|DA|=2．
根據(jù)sin∠BOC=$\frac{|BC|}{|OB|}$=$\frac{|AD|}{|OA|}$=$\frac{1}{|OB|}$=$\frac{2}{|OA|}$．
再根據(jù)|OA|≥4，可得|OB|≥2，∴sin∠BOC≤$\frac{1}{2}$，
∴∠BOC≤$\frac{π}{6}$，
則$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=|OA|•|OB|•cos∠BOC的最小值是 4•2•cos$\frac{π}{6}$=4$\sqrt{3}$，
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了向量的三角形法則、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．