Question

y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=2x-x²；
（1）求x＜0時，f（x）的解析式；
（2）問是否存在這樣的正數(shù)a，b，當x∈[a，b]時，g（x）=f（x），且g（x）的值域為[

1

b

，

1

a

]若存在，求出所有的a，b值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令x＜0，則-x＞0，由當x≥0時，f（x）=2x-x²，可得f（-x）的表達式，進而根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，f（x）=-f（-x），可得答案；
（2）分0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b和1≤a＜b三種情況分別討論，a，b的取值情況，最后綜合討論結果可得答案．

解答：解：（1）設x＜0，則-x＞0于是f（-x）=-2x-x²，-------------------------（2分）
又f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）=-f（-x）=2x+x²，即f（x）=2x+x²（x＜0），---（4分）
（2）分下述三種情況：
①0＜a＜b≤1，那么

1

a

＞1，而當x≥0，f（x）的最大值為1，
故此時不可能使g（x）=f（x），-------------------------（7分）
②若0＜a＜1＜b，此時若g（x）=f（x），
則g（x）的最大值為g（1）=f（1）=1，得a=1，這與0＜a＜1＜b矛盾；--------------（11分）
③若1≤a＜b，因為x≥1時，f（x）是減函數(shù)，則f（x）=2x-x²，于是有

1 b =g(b)=-b2-2b 1 a =g(a)=-a2+2a

?

(a-1)(a2-a+1)=0 (b-1)(b2-b-1)=0

，
考慮到1≤a＜b，解得a=1，b=

1+ 5

2

----（15分）
綜上所述

a=1 b= 1+ 5 2 .

-----（16分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質，函數(shù)解析式的求解及常方法，二次函數(shù)的性質，其中利用奇函數(shù)的性質，求出函數(shù)的解析式，并分析其性質是解答本題的關鍵．