Question

4．如圖，已四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，點(diǎn)M、N分別在PD、PC上，2PN=NC，PM=MD
（1）求證：PC⊥平面AMN；
（2）求四面體P-ABN的體積．

Answer 1

分析 （1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD、AB、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{AM}$，然后計(jì)算$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AN}$與$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AM}$，證得$\overrightarrow{CP}$⊥$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{CP}$⊥$\overrightarrow{AM}$，而AM∩AN=A，根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)論；
（2）由2PN=NC，可得V_P-ABN=$\frac{1}{3}$V_P-ABC，利用三棱錐的體積公式，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD、AB、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），P（0，0，2），M（1，0，1），
∵2PN=NC，∴N（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）
$\overrightarrow{CP}$=（-2，-2，2），$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{AM}$=（1，0，1）
∴$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AN}$=（-2）×$\frac{2}{3}$+（-2）×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{4}{3}$=0
$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AM}$=（-2）×1+0+2×1=0
∴$\overrightarrow{CP}$⊥$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{CP}$⊥$\overrightarrow{AM}$
而AM∩AN=A
∴PC⊥平面AMN
（2）解：由題意，V_P-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$，
∵2PN=NC，
∴V_P-ABN=$\frac{1}{3}$V_P-ABC=$\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了線面垂直的判定，以及三棱錐的體積公式，考查向量知識的運(yùn)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．