Question

（2003•東城區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且滿足a_n+1=a_n²-2na_n+2，（n∈N），又a₅=11．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推測(cè)出{a_n}的通項(xiàng)公式（不要求證明）；
（Ⅱ）設(shè)b_n=11-a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，S_n′=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求

lim

n→∞

Sn

Sn′

的值；
（Ⅲ）設(shè)C_n=

1

n(1+an)

（n∈N），T_n=C₁+C₂+…+C_n，是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N，均有T_n＞

m

32

？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a_n+1=a_n²-2na_n+2，（n∈N），a₅=11求出a₄的值，然后同理求出a₃，a₂，a₁的值；
（Ⅱ）先根據(jù)等差數(shù)列求和公式求出S_n，然后判斷{b_n}哪幾項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，再分類討論，即可求得S_n′的值，然后利用極限的知識(shí)求解即可；
（Ⅲ）求得數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，求出最小值，再解不等式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由a₅=11，得11=a₄²-8a₄+2即a₄²-8a₄-9=0．
解得  a₄=9或a₄=-1（舍）．（1分）
由a₄=9，a₃²-6a₃-7=0解得a₃=7或a₃=-1（舍）（2分）
同理可求出  a₂=5，a₁=3．（4分）
由此推測(cè)a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式：a_n=2n+1（n∈N）．（5分）
（Ⅱ）b_n=11-a_n=10-2n（n∈N）．可知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列Sn=

n(b1+bn)

2

=

n(8+10-2n)

2

=-n2+9n（6分）
當(dāng)n≤5時(shí)，Sn′=Sn=-n2+9n．
當(dāng)n＞5時(shí)，S_n′=-S_n+2S₅=-S_n+40．=n²-9n+40．（7分）
當(dāng)n≤5時(shí)，

Sn

Sn′

=1，當(dāng)n＞5時(shí)，

S

Sn′

=

-n2+9n

n2-9n+40

．
∴

lim

n→∞

Sn

Sn′

=

lim

n→∞

-n2+9n

n2-9n+40

=-1．（10分）
（Ⅲ）Cn=

1

n(1+an)

=

1

n(2n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)（11分）

Tn=C1+C2+…+Cn= 1 2 [(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+…+( 1 n - 1 n+1 )] = 1 2 (1- 1 n+1 )(12分)

對(duì)于任意n∈N．Tn+1-Tn=

1

2

(1-

1

n+2

)-

1

2

(1-

1

n+1

)=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+2

)＞0．
∴Tn=

1

2

(1-

1

n+1

)是關(guān)于n的遞增函數(shù)．（13分）
∴要使要使Tn＞

m

32

對(duì)任意n∈N總成立．只要T1＞

m

32

，即

1

4

＞

m

32

．
∴m＜8，又m∈N．
因此存在整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N，均有Tn＞

m

32

，且m的最大值為7．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查恒成立問題，確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確求和是關(guān)鍵，屬于中檔題．