Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：
（I）求a₁，a₂，a₃的值，猜測a_n的表達式并給予證明；
（II）求證：；
（III）設數(shù)列的前n項和為．

Answer 1

解：（Ⅰ）a₁=2，a₂=3，a₃=4，猜測：a_n=n+1
下用數(shù)學歸納法
①當n=1時，a₁=1+1=2，猜想成立；
②假設當n=k（k≥1）時猜想成立，即a_k=k+1
由條件∴
兩式相減得：
則當n=k+1時，∴a_k+1=k+2即當n=k+1時，猜想也成立
故對一切的n∈N^*，a_n=n+1成立
（Ⅱ）設
由
由y=cosx的單調(diào)性知f（x）在內(nèi)有且只有一個極大值點，
且∴
即．
令時有，∴
又當，∴∴
（Ⅲ）∵a_na_n+1≥6，∴
由（Ⅱ）可知∴
即對一切．
又∵∴
即對一切．∴．
分析：（Ⅰ）令n=1，2，3，分別求出a₁，a₂，a₃，然后仔細觀察，總結規(guī)律，猜想：a_n=n+1（n∈N^*），再用用數(shù)字歸納法證明．
（Ⅱ）構造函數(shù)，求導，利用y=cosx的單調(diào)性知f（x）在內(nèi)有且只有一個極大值點，從而可證；
（III）由，結合，利用裂項求和，可得對一切．利用，可證右邊．
點評：本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，考查放縮法的思想的運用．綜合性強