Question

2．已知數(shù)列{a_n}，滿足a₁=0，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$a_n$+\frac{1}{n}$，若不等式$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜m恒成立，則整數(shù)m的最小值是3．

Answer 1

分析 通過計(jì)算出數(shù)列{a_n}前幾項(xiàng)的值猜想a_n=$\frac{（n-1）（n+2）}{4}$（n≥2），并利用數(shù)學(xué)歸納法證明，通過裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+2}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加、放縮即得結(jié)論．

解答 解：∵a₁=0，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$a_n$+\frac{1}{n}$，
∴a₂=$\frac{3}{1}$a₁+$\frac{1}{1}$=1=$\frac{2}{2}$，
a₃=$\frac{4}{2}$a₂+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
a₄=$\frac{5}{3}$a₃+$\frac{1}{3}$=$\frac{9}{2}$，
…
猜想：a_n=$\frac{（n-1）（n+2）}{4}$（n≥2）．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
①當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，有a_k=$\frac{（k-1）（k+2）}{4}$，
則a_k+1=$\frac{k+2}{k}$•a_k+$\frac{1}{k}$=$\frac{k+2}{k}$•$\frac{（k-1）（k+2）}{4}$+$\frac{1}{k}$=$\frac{{k}^{2}+3k}{4}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立；
由①②可知：a_n=$\frac{（n-1）（n+2）}{4}$（n≥2）．
∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{（n-1）（n+2）}$=$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{4}{3}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{4}{3}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）=$\frac{22}{9}$，
m為整數(shù)，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，涉及數(shù)學(xué)歸納法、裂項(xiàng)相消法等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于難題．