Question

12．已知函數(shù)f（x）=1+$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）$．
（1）求函數(shù)的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）=1+$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）$的圖象可以由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）的解析式可得它的最大值，函數(shù)f（x）=1+$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的單調(diào)區(qū)間相同．令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x的范圍，即可得到所求的增區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）的解析式可得它的最大值為1$+\sqrt{2}$．
由于，函數(shù)f（x）=1+$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的單調(diào)區(qū)間相同．
令：2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，解得：2kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，
故：所求的增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈z．
（2）將y=sinx的圖象先向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度，然后把縱坐標伸長為原來的$\sqrt{2}$倍（橫坐標不變），
再向上平移1個單位長度，可得f（x）=1+$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）的圖象．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的最值、單調(diào)增區(qū)間以及它的圖象變換規(guī)律，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．