Question

設(shè)a＞0，函數(shù)．
（1）求證：關(guān)于x的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)數(shù)列{x_n}滿足，當(dāng)a=2且，證明：對(duì)任意m∈N*都有．

Answer 1

解：（1）∵方程，
∴，
∴﹣x+a+1=0，
∵a＞0，
∴△=1﹣4（a+1）=﹣4a﹣3＜0
方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；
（2）∵函數(shù)，
∴g'（x）=a+2x+a，
令g'（x）=a+2x+a=0，則△=4﹣4a²，
①當(dāng)△=4﹣4a²＜0，即a＞1，對(duì)任意實(shí)數(shù)g'（x）＞0，
∴g（x）在R上單調(diào)遞增
②當(dāng)△=4﹣4a²=0，即a=1，g'（1）=0，但g'（x）＞0，（x≠1），
∴g（x）在R上單調(diào)遞增
③當(dāng)△=4﹣4a²＞0，即0＜a＜1，對(duì)任意實(shí)數(shù)由g'（x）＞0，a+2x+a＞0，得x或x＞，
∴g（x）在（）上單調(diào)遞減，g（x）在（﹣∞，），（，+∞）上單調(diào)遞增
（3）當(dāng)a=2時(shí)，由=0，得  x₂=f（）=f（0）=，
|﹣x₂|=，|x₃﹣x₂|=||=×|x₂²﹣x₁²|＜×|x₂﹣||x₂+|
=××|x₂﹣|=
當(dāng)k≥2時(shí)，∵0＜xk≤
∴|x_k+1﹣x_k|=||=×|x_k²﹣x_k﹣1²|<×|x_k﹣x_k﹣1||x_k+x_k﹣1|＜×|x_k﹣x_k﹣1|＜×|x_k﹣1﹣x_k﹣2|＜…＜×|x₃﹣x₂|＜
對(duì)任意m∈N+，|x_m+k﹣x_k|=|（x_m+k﹣x_m+k﹣1）+（x_m+k﹣1﹣x_m+k﹣2）+（x_m+k﹣2﹣x_m+k﹣3）…+（x_k+1﹣x_k）|≤|（x_m+k﹣x_m+k﹣1）|+|（x_m+k﹣1﹣x_m+k﹣2）|+…+|（x_k+1﹣x_k）|
≤（++…++1）|x_k+1﹣x_k|=|x_k+1﹣x_k|=·=，即證；