Question

已知F是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)，A是相應(yīng)的頂點(diǎn)，P是y軸上的點(diǎn)，滿足∠FPA=α，則雙曲線的離心率的最小值為（　�。�

• A、

  1

  sinα

• B、

  1

  cosα

• C、

  1+sinα

  1-sinα

• D、

  1+cosα

  1-cosα

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，且為（c，0），右頂點(diǎn)A（a，0），設(shè)|OP|=h，則tanα=tan（∠FPO-∠APO），運(yùn)用兩角差的正切公式，結(jié)合基本不等式，得到e的不等式解得e即可，再由同角公式化簡(jiǎn)即可得到．

解答： 解：設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，且為（c，0），右頂點(diǎn)A（a，0），
設(shè)|OP|=h，
則tanα=tan（∠FPO-∠APO）=

tan∠FPO-tan∠APO

1+tan∠FPOtan∠APO

=

c h - a h

1+ ac h2

=

c-a

h+ ac h

，
由于h+

ac

h

≥2

ac

，當(dāng)且僅當(dāng)h=

ac

時(shí)，取等號(hào)．
即有tanα≤

c-a

2 ca

，
即2tanα≤

c a

-

a c

，
即有2tanα≤

e

-

1 e

，即e-2

e

tanα-1≥0，
即

e

≥tanα+

1+tan2α

，
即有e≥（

1+sinα

cosα

）²=

(1+sinα)2

cos2α

=

(1+sinα)2

1-sin2α

=

1+sinα

1-sinα

．
當(dāng)且僅當(dāng)h=

ac

時(shí)，e的最小值為

1+sinα

1-sinα

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，運(yùn)用兩角差的正切公式是解題的關(guān)鍵．