Question

6．（1）已知雙曲線x²-y²=m與橢圓2x²+3y²=72有相同的焦點(diǎn)，求m的值．
（2）求焦點(diǎn)在x軸正半軸上，并且經(jīng)過點(diǎn)P（2，-4）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）確定橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線中三個(gè)系數(shù)a，b，c的關(guān)系求出m的值；
（2）設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得結(jié)論．

解答 解：∵2x²+3y²=72
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{24}$=1，
∴c²=a²-b²=36-24=12，
∴焦點(diǎn)F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{3}$，0），
∵雙曲線x²-y²=m即為：$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{m}$=1，
∵與橢圓有相同焦點(diǎn)，
∴雙曲線c²=a²+b²=m+m=2m=12，
∴m=6．
故m的值為6；
（2）由題意，拋物線的開口向右，設(shè)方程為y²=2px（p＞0），
將P（2，-4）代入拋物線方程可得16=4p，
∴p=4，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=8x，
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y²=8x．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要記住雙曲線和橢圓的定義和性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．